Язык чисел

Книга природы написана на языке математики.

— Галилео Галилей

Видеоверсия главы · YouTube

Почему математика работает#

Вся физика держится на странном факте. Уравнения, которые люди придумали на бумаге, описывают движение планет, свет и атомы. Максвелл вывел из своих формул скорость электромагнитной волны, и она совпала со скоростью света. Дирак получил из уравнения лишнее решение, и через несколько лет в природе нашлась античастица. Физик Юджин Вигнер в 1960 году назвал это «непостижимой эффективностью математики» и признался, что объяснения у него нет. Почему мир согласен подчиняться формулам, выведенным за письменным столом?

Общепринятого ответа нет. Одни считают, что математические истины существуют сами по себе, как далёкий материк, который мы постепенно открываем: теорема Пифагора была верна и до Пифагора. Другие — что математика есть язык, который мы изобрели, отобрав из множества возможных правил те, что оказались полезны, и поэтому неудивительно, что он хорошо описывает мир, к которому мы его подгоняли.

Рихард Курант и Герберт Роббинс в классической книге «Что такое математика?» предлагают не решать этот спор, а посмотреть, как математика устроена изнутри. У неё три опоры: число, форма и изменение. Из этих корней выросли арифметика и алгебра, геометрия, математический анализ. Стивен Строгац в «Удовольствии от x» проходит тот же путь для читателя, давно забывшего школу, от счёта на пальцах до бесконечности, и показывает, что математика существует не ради экзаменов: это самый точный способ думать. Юрий Пухначёв и Юрий Попов в двухтомнике «Математика без формул» рассказывают о главных идеях так, чтобы читатель увидел мысль, а не выкладки. Микаэль Лонэ в «Большом романе о математике» рассказывает историю человечества через математику, от первых счётных бирок до компьютеров.

Число#

Счёт появился раньше письма. На кости из Ишанго, найденной в Центральной Африке и насчитывающей около двадцати тысяч лет, нанесены насечки, которые многие исследователи считают записью чисел. Шумеры считали шестидесятками, и от них нам достались шестьдесят минут в часе и триста шестьдесят градусов в круге. Римляне записывали числа буквами и обходились без нуля, и умножение больших чисел было у них работой для специалиста. Индийские математики ввели ноль как полноценное число и позиционную запись, где значение цифры зависит от её места. Через арабский мир эта система пришла в Европу и сделала расчёты доступными любому купцу.

Айзек Азимов в книге «Числа» рассказывает эту историю как приключение, и она действительно приключение. Ноль и отрицательные числа долго казались абсурдом: как может быть меньше, чем ничего? Позже такую же враждебность встретили числа, которые получаются при извлечении корня из отрицательного, и само их название, «мнимые», хранит память об этом недоверии. Ещё раньше пифагорейцы, верившие, что всё в мире есть отношение целых чисел, обнаружили, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной: корень из двух нельзя записать дробью.

Архимед в сочинении «Исчисление песчинок» решил показать, что даже очень большое число можно назвать и записать. Он подсчитал, сколько песчинок поместилось бы во всей Вселенной, как её представляли греки, и получил величину, которую мы записали бы как единицу с шестьюдесятью тремя нулями. Для этого он придумал собственную систему наименования больших чисел. Смысл упражнения был в том, что «бесчисленное» на деле оказывается просто очень большим.

Эрик Белл в «Творцах математики» собрал биографии великих математиков, и одна из самых известных историй там про Карла Фридриха Гаусса. Учитель, желая занять класс, велел сложить все числа от одного до ста. Маленький Гаусс почти сразу написал ответ: 5050. Он заметил, что первое и последнее числа дают в сумме сто один, второе и предпоследнее тоже, и таких пар ровно пятьдесят. Историю, вероятно, приукрасили, но она передаёт суть математического мышления: вместо того чтобы считать в лоб, найти структуру, которая делает счёт ненужным.

Гаусс потом написал «Арифметические исследования», фундамент теории чисел. Простые числа, делящиеся только на себя и на единицу, занимали математиков с античности. Евклид доказал, что их бесконечно много, доказательством настолько изящным, что его до сих пор приводят как образец. Допустим, простых чисел конечное число. Перемножим их все и прибавим единицу. Полученное число не делится ни на одно из них, значит, либо оно само простое, либо делится на простое, которого не было в списке. В любом случае список неполон. Долгое время теория чисел считалась самой бесполезной областью математики. Сегодня на ней держится шифрование каждой банковской операции.

Форма#

Евклид собрал геометрию своего времени в «Начала» и построил её из немногих аксиом, утверждений, принимаемых без доказательства. Из них выводилось всё остальное. Две тысячи лет «Начала» оставались образцом строгого рассуждения, по ним учились математики, юристы и богословы. Одна аксиома, пятый постулат о параллельных прямых, выглядела подозрительно громоздкой, и многие пытались вывести её из остальных.

В 1820-х годах Николай Лобачевский в Казани и Янош Бойяи в Венгрии независимо друг от друга пошли от противного. Они предположили, что через точку вне прямой можно провести много прямых, не пересекающих исходную, и ждали противоречия. Противоречия не было. Получилась другая, совершенно последовательная геометрия, в которой сумма углов треугольника меньше ста восьмидесяти градусов. Отец Бойяи, сам математик, умолял сына бросить параллели, «эту бездонную тьму». Сын не бросил и опубликовал открытие как «Приложение» к учебнику отца. Гаусс, прочитав его, ответил, что хвалить эту работу значило бы хвалить самого себя: он пришёл к тем же выводам раньше, но не решился печатать. Лобачевский при жизни признания так и не дождался, его труды по геометрии оценили уже после смерти автора.

Позже Бернхард Риман построил геометрию искривлённых пространств вообще, а Эйнштейн обнаружил, что именно такой геометрией описывается тяготение. Абстракция, созданная из любопытства, оказалась устройством реального мира.

Эдвин Эбботт в повести «Флатландия» 1884 года придумал мир, где живут плоские фигуры, и описал визит в него трёхмерной Сферы. Жители Флатландии не могут вообразить высоту, как мы не можем вообразить четвёртое пространственное измерение. Сфера, проходящая сквозь их плоскость, выглядит для них точкой, которая растёт в круг и снова сжимается. Повесть задумана как сатира на викторианскую Англию, а стала лучшим введением в многомерную геометрию.

Из геометрии выросла топология, наука о свойствах, которые не меняются при растяжении и сгибании. Для тополога бублик и кружка неразличимы: у обоих одна дырка. Начало ей положил Леонард Эйлер задачей о кёнигсбергских мостах. Можно ли пройти по всем семи мостам города, ступив на каждый ровно один раз? Эйлер доказал, что нельзя, и способ доказательства оказался важнее ответа: он отбросил расстояния и формы и оставил только связи. Так устроены схемы метро, анализ социальных сетей и маршрутизация в интернете.

Изменение#

Ньютон и Лейбниц почти одновременно и независимо придумали математический анализ, язык мгновенных изменений. Как говорить о скорости в конкретный момент, если скорость есть путь, поделённый на время, а за мгновение путь равен нулю? Ответом стало понятие предела: посмотреть, к чему стремится отношение, когда промежуток времени становится всё меньше. Из этого выросли производная и интеграл, и через них законы природы стали записываться как уравнения, связывающие величины со скоростью их изменения. На этом языке написаны почти вся физика, инженерия и заметная часть экономики.

Строгац показывает анализ как искусство разрезать задачу на бесконечно малые кусочки и снова их собирать. Архимед за две тысячи лет до Ньютона уже вычислял площадь круга, вписывая в него многоугольники со всё большим числом сторон. Круг для него был многоугольником с бесконечным числом бесконечно малых сторон. Идея та же, не хватало только языка, и этот язык появился, когда стало ясно, как обращаться с бесконечно малым без противоречий.

Задолго до этого Зенон Элейский придумал апорию об Ахиллесе и черепахе. Быстроногий Ахиллес никогда не догонит черепаху: пока он добежит до места, где она была, она отползёт чуть дальше, и так без конца. Разгадка пришла с понятием предела: бесконечная сумма всё уменьшающихся отрезков может давать конечное число. Лев Толстой открыл этой апорией одну из частей «Войны и мира» и сделал из неё неожиданный вывод об истории. Ход событий, по его мысли, складывается из бесконечно малых воль множества людей, и понять его можно, только допустив «дифференциал истории» и научившись его интегрировать, а не приписывая всё воле одного полководца. Мысль о том, что большое складывается из бесконечно малого, он взял прямо из анализа.

Эйлер, самый плодовитый математик в истории, нашёл формулу, которую часто называют самой красивой в математике. В ней одно равенство связывает пять главных чисел: ноль, единицу, число пи, основание натуральных логарифмов и мнимую единицу. Числа, пришедшие из совсем разных мест (геометрии круга, роста сложных процентов и решения уравнений), оказались связаны одной строкой.

Логика и зазеркалье#

Чарльз Доджсон преподавал математику в оксфордском колледже Крайст-Чёрч и писал учебники логики. Под псевдонимом Льюис Кэрролл он сочинил «Алису в Стране чудес», и логика просачивается в сказку на каждой странице. На безумном чаепитии Алиса уверяет, что думать то, что говоришь, и говорить то, что думаешь, это ведь одно и то же. Шляпник возмущается: тогда «я вижу то, что ем» значит то же, что «я ем то, что вижу». Это азбука логики: утверждение и обратное ему могут быть совсем разными. «Все кошки смертны» не означает, что все смертные кошки. На этой путанице держится немало рекламы и политических речей.

Кэрролл написал ещё короткий диалог «Что Черепаха сказала Ахиллесу», где Черепаха снова дразнит Ахиллеса, теперь уже логикой. Она соглашается с посылками и с правилом вывода, но требует записать само правило как ещё одну посылку, потом правило применения этого правила, и так до бесконечности. Вывод так и не делается. Диалог показывает, что логика не может обосновать сама себя изнутри: где-то приходится просто начать рассуждать.

Через восемьдесят с лишним лет Дуглас Хофштадтер взял Ахиллеса и Черепаху у Кэрролла и сделал их героями диалогов в книге «Гёдель, Эшер, Бах», получившей Пулитцеровскую премию. Между диалогами он рассказывает о формальных системах, о гравюрах Эшера, где лестницы замыкаются сами на себя, и о канонах Баха, которые после модуляций возвращаются в исходную тональность. Всё это примеры «странной петли», системы, которая через ряд шагов приходит к самой себе. Главная такая петля у Хофштадтера — теорема Гёделя.

Бесконечность и пределы#

Георг Кантор в конце XIX века сделал то, что до него казалось невозможным: научился сравнивать бесконечности. Натуральных чисел бесконечно много, чётных тоже, и их, как ни странно, одинаково много, потому что каждому натуральному числу можно поставить в пару удвоенное. Гильберт любил объяснять это на примере гостиницы с бесконечным числом номеров, где все номера заняты. Приезжает новый гость, и для него находится место: каждый постоялец переезжает в соседний номер, с большим на единицу, и первый номер освобождается. Действительных чисел, точек на прямой, больше, чем натуральных, и Кантор доказал это знаменитым диагональным рассуждением. Бесконечности бывают разного размера. Современники встретили это враждебно, а Давид Гильберт позже сказал, что никто не изгонит нас из рая, созданного Кантором.

Гильберт мечтал построить всю математику на аксиомах, как Евклид геометрию, и доказать, что она непротиворечива и полна: всякое истинное утверждение в ней можно доказать. В 1931 году двадцатипятилетний Курт Гёдель показал, что это невозможно. Любая достаточно мощная непротиворечивая система аксиом содержит утверждения, которые в ней нельзя ни доказать, ни опровергнуть. Гёдель построил утверждение, которое по сути говорит о себе «меня нельзя доказать», и если система непротиворечива, это утверждение истинно и недоказуемо. Через пять лет Алан Тьюринг, отвечая на другой вопрос Гильберта, показал, что не существует общего способа определить, закончит ли произвольная программа работу. У математики и вычислений обнаружились внутренние пределы.

Самоотсылка, на которой построено доказательство Гёделя, встречается и в жизни, обычно в менее благородном виде. Джозеф Хеллер в романе «Уловка-22» описал армейское правило, по которому лётчика можно отстранить от полётов, если он сошёл с ума, но для этого он должен сам об этом попросить. А кто просит избавить его от смертельно опасных вылетов, тот, очевидно, в здравом уме и летать обязан. Правило ссылается само на себя и потому не выпускает никого. Название романа стало нарицательным для любой такой ловушки.

Хофштадтер предполагает, что «я» человека устроено как такая же петля: мозг строит модель мира, в которую входит модель самого себя. Так далеко может завести идея, родившаяся в спорах об основаниях арифметики.

Как не ошибаться#

Джордан Элленберг назвал свою книгу «Как не ошибаться. Сила математического мышления» и начал её с истории, ставшей классикой. Во Вторую мировую американские военные изучали пробоины на вернувшихся самолётах, чтобы решить, где усилить броню. Пробоин больше всего было на фюзеляже, меньше всего на двигателях. Математик Абрахам Вальд посоветовал бронировать двигатели. Самолёты с пробитыми двигателями просто не возвращались. Военные смотрели на выживших и не видели погибших. Это называется ошибкой выжившего, и она повсюду: в историях успешных бизнесменов, в советах долгожителей, в статистике «работающих» методик.

Для Элленберга математическое мышление есть продолжение здравого смысла другими средствами. Оно предостерегает от линейной экстраполяции там, где зависимость нелинейна, от путаницы корреляции с причиной, от выводов по малым выборкам.

Нелли Литвак и Андрей Райгородский в книге «Кому нужна математика?» показывают, где математика незаметно работает сегодня. Поисковая система решает, какую страницу показать первой, рассматривая интернет как гигантский граф, где ссылка с авторитетной страницы весит больше, чем ссылка с никому не известной. Это прямой потомок задачи о кёнигсбергских мостах. Бен Орлин в «Математике с дурацкими рисунками» делает то же самое с юмором, а Алекс Беллос в «Красоте в квадрате» ищет числа в повседневной жизни: в форме бутылок, в правилах игр, в ценах на товары.

Красота и скрытое единство#

Математики постоянно говорят о красоте, и это не кокетство. Красивое доказательство коротко, неожиданно и неизбежно: прочитав его, понимаешь, что иначе быть не могло.

Фернандо Корбалан в «Золотом сечении» рассказывает об отношении, которое встречается в правильном пятиугольнике, в раковинах и в расположении семян подсолнуха, и предупреждает, что многие рассказы о «божественной пропорции» в пирамидах и картинах преувеличены. Профессор Лэнгдон в романе Дэна Брауна «Код да Винчи» находит это число повсюду, от пропорций человеческого тела до полотен Леонардо, и читатель легко заражается его восторгом. Книга Корбалана хорошо прочищает голову после такого чтения: если искать заданное отношение достаточно настойчиво, его найдёшь где угодно, особенно если мерить с точностью до двадцати процентов. Красота математики в связях, а мистика чисел к ней отношения не имеет.

Эдвард Френкель в книге «Любовь и математика» рассказывает о программе Ленглендса, одной из величайших загадок современной науки. Это сеть предполагаемых соответствий между областями, которые, казалось бы, не имеют ничего общего: теорией чисел, геометрией, анализом. Андре Вейль сравнивал такие соответствия с Розеттским камнем, где один текст записан на трёх языках. Для Френкеля это свидетельство того, что за разными разделами математики стоит единая реальность. Сам он в 1984 году из-за еврейского происхождения не смог поступить на мехмат МГУ, и пишет о математике как о свободе, которую нельзя отнять.

Математику можно открыть и через сказку. Сергей Бобров в «Волшебном двуроге» отправляет мальчика Илюшу, не любившего задачник, в путешествие по стране математики вместе с маленьким проводником Радиксом, и Илюша обнаруживает, что за правилами из учебника стоят живые идеи. Книга написана для подростков, но пригодится и взрослому, которому школа оставила от математики одну скуку.

Язык без слов#

Математика оказывается языком, на котором удобнее всего говорить об устройстве чего угодно. Числа описывают количество, геометрия — форму, анализ — изменение, вероятность — неопределённость, топология — связи. Чаще всего этот язык работает незаметно, как грамматика родного языка, о которой не думаешь, пока говоришь.

Маленький Гаусс, складывающий пары чисел, Эйлер, выбросивший из задачи о мостах всё, кроме связей, Кантор, разложивший бесконечности по парам, делали одно и то же: убирали лишнее, чтобы увидеть структуру. Этот приём переносится куда угодно. В споре он помогает понять, о чём спор на самом деле. В проекте он отделяет главное от шума. В чужой статистике он заставляет спросить, кого в ней не видно.

Мартин Гарднер четверть века вёл в журнале «Сайентифик Американ» колонку математических развлечений, и его «Математические головоломки и развлечения» до сих пор лучше любой проповеди убеждают, что думать приятно. Над его задачами ломают голову школьники и профессора, и часто выигрывает тот, кто первым перестаёт считать и начинает смотреть. Вигнер так и не нашёл ответа, почему мир говорит на языке математики. Но, может быть, вопрос стоит перевернуть: математика и есть то, что остаётся от мира, когда из него убрано всё случайное.