Случай, риск и хаос

Случай благоприятствует только подготовленному уму.

— Луи Пастер

Видеоверсия главы · YouTube

Игра, которую не доиграли#

Люди играли в кости тысячи лет, но считать шансы начали удивительно поздно. Итальянский врач и математик Джероламо Кардано, страстный игрок, ещё в XVI веке написал «Книгу об игре в кости», где впервые подсчитывал, какие комбинации выпадают чаще. Рукопись пролежала больше ста лет и вышла, когда наука о случае уже родилась в другом месте.

В 1654 году французский игрок шевалье де Мере задал Блезу Паскалю вопрос, над которым бились уже полтора века. Двое играют до определённого числа побед, но игру приходится прервать. Как справедливо разделить ставку, если один игрок впереди? Паскаль вступил в переписку с Пьером Ферма, и в этих письмах появилась теория вероятностей. Идея была в том, чтобы мысленно доиграть партию всеми возможными способами и посчитать, в какой доле случаев выигрывает каждый. Будущее, которое не наступило, оказалось возможно взвесить.

Леонард Млодинов в «(Не)совершенной случайности» рассказывает, как из споров об игральных костях выросла одна из самых практичных наук. Страхование, медицина, прогноз погоды, социология, контроль качества на заводе и физика газов держатся на одной мысли: отдельный случай непредсказуем, а поведение множества случаев предсказуемо с удивительной точностью. Нельзя сказать, выпадет ли орёл при следующем броске, но можно твёрдо сказать, что за тысячу бросков орлов будет около пятисот. Это закон больших чисел, и Якоб Бернулли доказал его в начале XVIII века.

Закон больших чисел#

На этом законе Айзек Азимов построил целую вселенную. В цикле «Основание» математик Гэри Селдон создаёт психоисторию, науку, которая не может предсказать поступок отдельного человека, зато предсказывает поведение триллионов людей Галактической империи на века вперёд, как физика газа описывает давление, не следя за каждой молекулой. Азимов честно оговаривает условия: людей должно быть очень много, и они не должны знать о прогнозе, иначе начнут ему противодействовать. Эта оговорка интереснее самой фантазии, потому что указывает на настоящую трудность общественных наук: предсказание о людях меняет поведение тех, о ком оно сделано.

Закономерности случайного можно найти даже в поэзии. В 1913 году петербургский математик Андрей Марков взял первые двадцать тысяч букв «Евгения Онегина» и подсчитал, как часто за гласной следует гласная, а за согласной согласная. Оказалось, что вероятность следующей буквы заметно зависит от предыдущей, и эту зависимость можно описать числами. Так появились цепи Маркова — последовательности, где каждый следующий шаг зависит только от текущего состояния. Сегодня на них держатся модели речи, прогноз очередей, анализ ДНК и ранжирование страниц в поисковых системах. Пушкин, вероятно, удивился бы, узнав, что его роман в стихах стал первым полигоном для такой математики.

Рональд Фишер, один из основателей современной статистики, придумал, как отличить закономерность от совпадения в эксперименте. Знакомая дама утверждала, что по вкусу определяет, что наливали в чашку раньше, чай или молоко. Фишер предложил дать ей восемь чашек, четыре таких и четыре других, в случайном порядке, и заранее подсчитать, насколько вероятно угадать все чашки наугад. Если вероятность мала, а дама не ошиблась, ей можно верить. Из этой сценки выросли правила, по которым сегодня проверяют лекарства: случайное распределение больных по группам защищает от того, что врач, сам того не желая, отдаст новое средство тем, кто и так выздоровел бы.

Интуиция против вероятности#

Главная мысль Млодинова в том, что человеческая интуиция плохо приспособлена к случайности. Он разбирает знаменитую задачу Монти Холла. Участник телеигры выбирает одну из трёх дверей, за одной из которых автомобиль. Ведущий, который знает, где приз, открывает другую дверь, за которой пусто, и предлагает поменять выбор. Стоит ли? Интуиция говорит, что шансы теперь пятьдесят на пятьдесят. На самом деле смена двери удваивает шансы, с одной трети до двух третей, потому что ведущий своим выбором сообщил участнику новую информацию. Когда журналистка Мэрилин вос Савант опубликовала правильный ответ, ей пришли тысячи писем от возмущённых читателей, среди них сотни от людей с учёными степенями.

Мы видим закономерности там, где их нет. Серия из пяти орлов кажется подозрительной, хотя она ничем не хуже любой другой последовательности. Игрок в казино уверен, что после череды красных «должно выпасть» чёрное, хотя у рулетки нет памяти. Германн в «Пиковой даме» Пушкина, расчётливый немец, который никогда не играл, потому что не мог «жертвовать необходимым в надежде приобрести излишнее», заражается верой в тайну трёх карт, и эта вера оказывается сильнее всей его расчётливости. Повесть написана почти два века назад, а лучшего описания того, как человек хочет обмануть случай, так и не появилось.

Виктор Пелевин в романе «Числа» доводит ту же слабость до гротеска. Его герой, банкир Стёпа, ещё в детстве выбирает себе покровителем число 34 и строит вокруг него всю жизнь, от выбора квартиры до деловых решений, а число 43 считает враждебным. Пелевин смеётся над героем, но читатель, который хоть раз загадывал желание на номер автобуса, узнаёт себя.

Даниэль Канеман, психолог, получивший Нобелевскую премию по экономике, в книге «Думай медленно… решай быстро» описывает эти ошибки как систематические. Они происходят не от недостатка ума, а от устройства быстрого, интуитивного мышления, которое мгновенно достраивает картину и ищет в ней причины. Для жизни в саванне это было полезно: лучше десять раз принять шорох за хищника, чем один раз не принять. Для оценки вероятностей такое мышление почти бесполезно, а медленное, расчётливое включается неохотно и требует усилия.

Одна из самых коварных ошибок называется регрессией к среднему. Канеман рассказывает, как инструктор израильских ВВС уверял его, что похвала вредит, а ругань помогает. Курсант, которого похвалили за отличный полёт, в следующий раз летает хуже, а отруганный за провал летает лучше. Канеман объяснил, что похвала и ругань тут ни при чём. Отличный полёт — отчасти удача, и следующий, скорее всего, будет ближе к среднему. Плохой тоже. Инструктор видел закономерность, которую создавал случай, и сделал из неё неверный вывод о воспитании.

Одураченные случайностью#

Нассим Талеб, бывший биржевой трейдер, построил на этом целую философию. В книге «Одураченные случайностью» он предлагает мысленный опыт. Возьмём десять тысяч управляющих фондами, каждый из которых принимает решения, подбрасывая монету. Через год половина окажется в плюсе, а через пять лет около трёхсот человек будут в плюсе все пять лет подряд. О них напишут журналы, их будут приглашать на конференции, и они сами искренне поверят в свой талант. Проигравших никто не вспомнит. Это та же ошибка выжившего, что с самолётами Вальда, только в мире денег.

Талеб предлагает оценивать решения не по результату, а по «альтернативным историям», тому, что могло случиться. Он сравнивает это с русской рулеткой за миллион долларов. Тот, кто сыграл и выиграл, богат, но его решение от этого не стало разумным: в одной из шести параллельных историй он мёртв. Мария Конникова пришла к тому же выводу за покерным столом и рассказала об этом в «Величайшем блефе». Правильный ход может проиграть, а неправильный выиграть, и на коротком отрезке результат почти целиком решает случай. Кто учится на каждой раздаче, учится у шума.

В следующей книге, «Чёрный лебедь», Талеб идёт дальше. Историю, по его мысли, двигают редкие, непредсказуемые события с несоразмерно большими последствиями: мировые войны, изобретение интернета, финансовые крахи. Их называют чёрными лебедями, потому что до открытия Австралии европейцы были уверены, что все лебеди белые. Постфактум мы всегда находим объяснение, почему это должно было случиться, и убеждаем себя, что могли бы это предвидеть. Не могли.

Случай как стратегия#

Иногда случайность нужна не чтобы её перехитрить, а чтобы ею пользоваться. Джон фон Нейман в 1928 году доказал теорему, с которой началась теория игр, а в 1944 году вместе с экономистом Оскаром Моргенштерном выпустил книгу «Теория игр и экономическое поведение». Один из главных выводов звучит парадоксально: в игре против разумного противника лучшая стратегия часто случайна. В «камень, ножницы, бумагу» нельзя выиграть у того, кто выбирает наугад, и нельзя проиграть, если сам выбираешь наугад. Любая система, которую противник может разгадать, оборачивается против тебя.

Фон Нейман разобрал и упрощённый покер и показал, что блеф входит в оптимальную стратегию как её законная часть: игрок, который никогда не блефует, слишком предсказуем, и его ставки выдают силу руки. Конникова, учившаяся у профессионалов, описывает то же самое изнутри: хороший игрок смешивает решения так, чтобы противник не мог прочесть его по рисунку ставок. Похожую картину находили исследователи, изучавшие футбольные пенальти: профессиональные бьющие и вратари выбирают угол так, что предсказать его по прошлым ударам почти невозможно. Сделать себя непредсказуемым не так легко, как кажется, потому что человек, пытаясь действовать наугад, невольно избегает повторов и выдаёт себя этим.

Нормальное и ненормальное#

Большая часть классической статистики опирается на нормальное распределение, колоколообразную кривую Гаусса. Рост людей, ошибки измерений, результаты тестов распределены примерно так: большинство около среднего, а крайние значения редки и становятся всё реже очень быстро. Чарльз Уилан в «Голой статистике» объясняет, почему так выходит: когда величина складывается из множества мелких независимых причин, их сумма почти всегда даёт колокол. Это центральная предельная теорема, одно из самых мощных утверждений математики. Уилан рассказывает о ней без единой страшной формулы и с таким количеством житейских примеров, что статистика у него перестаёт быть скучной.

Но не всё в мире складывается из мелких независимых причин. Джеймс Уэзеролл в «Физике фондового рынка» рассказывает, как физики пришли на Уолл-стрит. Первые модели рынка считали, что колебания цен распределены нормально, как скорости молекул газа. Бенуа Мандельброт изучил реальные данные о ценах на хлопок за сто лет и увидел совсем другое. Крупные скачки случаются гораздо чаще, чем позволяет колокол. У распределения «тяжёлые хвосты». По гауссовской модели обвал вроде «чёрного понедельника» 1987 года, когда американский рынок за день потерял больше пятой части стоимости, практически невозможен. Он случился, и обвалы такого масштаба повторяются.

Талеб делит мир на две страны. В Среднестане живут величины вроде роста и веса: один человек, даже самый высокий, не изменит среднего роста тысячи людей. В Крайнестане — богатство, тиражи книг, число погибших в войнах: один миллиардер меняет среднее состояние тысячи людей в сотни раз. Самые опасные ошибки случаются, когда модель для Среднестана применяют к Крайнестану, а банковские риски, как показали кризисы, долго считали именно по колоколу.

Хаос в часовом механизме#

Классическая механика Ньютона обещала, что, зная положение и скорость всех тел, можно предсказать будущее сколь угодно далеко. Пьер-Симон Лаплас в предисловии к своему труду по теории вероятностей описал разум, которому известны все силы и все положения частиц в какой-то миг: для такого разума не было бы ничего неопределённого, и будущее, как и прошлое, стояло бы перед его глазами. Этот образ потом назвали демоном Лапласа. Вероятность для самого Лапласа — лишь мера нашего незнания.

Первым в этом обещании усомнился Анри Пуанкаре. В 1880-х годах он участвовал в конкурсе, объявленном шведским королём Оскаром II, и изучал задачу трёх тел, притягивающих друг друга. Пуанкаре обнаружил, что их движение может быть настолько запутанным, что малейшая неточность в начальных условиях со временем вырастает до полной непредсказуемости. Почти тогда же Александр Ляпунов в Харькове написал «Общую задачу об устойчивости движения», где дал строгий способ определять, гаснут ли малые отклонения или нарастают. Скорость, с которой расходятся близкие траектории, теперь называют показателем Ляпунова, и это главный инструмент для того, чтобы отличить хаос от простого шума.

По-настоящему это поняли в 1960-х, когда метеоролог Эдвард Лоренц заметил, что его компьютерная модель погоды даёт совершенно разный прогноз, если ввести число 0,506 вместо 0,506127. Позже он назвал доклад вопросом, может ли взмах крыльев бабочки в Бразилии вызвать торнадо в Техасе. Образ прижился, хотя за двадцать лет до этого доклада Рэй Брэдбери уже написал рассказ «И грянул гром» об охотниках, которые отправляются в прошлое за динозаврами и обязаны не сходить с проложенной тропы, потому что любое мелкое вмешательство может изменить будущее. Учебники вроде «Детерминированного хаоса» Генриха Шустера показывают, что чувствительность к начальным условиям не исключение, а правило для множества систем: погоды, турбулентности, популяций животных, сердечного ритма. Эти системы подчиняются точным законам и при этом непредсказуемы на длинном горизонте. Для погоды этот горизонт около двух недель, и никакой суперкомпьютер не отодвинет его существенно.

Хаос виден и в форме. Мандельброт заметил, что береговая линия, крона дерева, сеть кровеносных сосудов и облака выглядят похоже в любом масштабе, и задал вопрос, какова длина побережья Британии. Ответ зависит от длины линейки: чем мельче шаг, тем больше изгибов он учитывает и тем длиннее берег. Такие формы Мандельброт назвал фракталами. Ричард Кроновер в книге «Фракталы и хаос в динамических системах» показывает их математику, и оказывается, что рыночные графики, которыми занимался Мандельброт, тоже фрактальны: график за день похож на график за год.

Порядок из беспорядка#

Если всё стремится к беспорядку, как требует второй закон термодинамики, и многое хаотично, как показали Пуанкаре и Лоренц, откуда в мире столько порядка? Илья Пригожин, получивший Нобелевскую премию по химии, отвечает на это в книге «Конец неопределённости». Вдали от равновесия, когда через систему течёт поток энергии, порядок может возникать сам собой. Если подогревать слой масла снизу, при определённой разнице температур жидкость сама организуется в правильные шестиугольные ячейки. Пригожин назвал такие структуры диссипативными: они существуют, пока через них идёт поток, и выбрасывают беспорядок наружу. Живая клетка, ураган и город устроены так же.

Вблизи точек перехода система становится крайне чувствительной, и крошечная случайность решает, каким путём она пойдёт дальше. После этого выбор закрепляется и уже не зависит от случая, который его вызвал. Пригожин считал, что это возвращает в физику историю: будущее не вычисляется до конца из прошлого, а создаётся по мере движения. Демон Лапласа здесь бессилен уже в принципе, потому что ему пришлось бы знать исход каждой развилки до того, как она случилась.

Как жить со случаем#

Случай нельзя отменить, но с ним можно научиться жить. Разумное решение не гарантирует хорошего результата, поэтому судить себя и других стоит по тому, насколько решение было разумно при том, что было известно тогда, а не по тому, как легла карта. Видя чужой успех, полезно спросить, сколько людей делали то же самое и прогорели. Прежде чем доверять модели, нужно понять, в какой стране она живёт, в Среднестане или в Крайнестане, и не считает ли она невозможным то, что просто давно не случалось. А в хаотическом мире точный долгосрочный план ценится меньше, чем умение быстро заметить отклонение и поправиться.

Талеб позже предложил понятие антихрупкости: выдерживать удары случая и становиться от них сильнее, как мышцы от нагрузки. Для этого нужен запас прочности, много маленьких ставок с ограниченным проигрышем и неограниченным выигрышем и отказ от ставок, где можно потерять всё. Этот совет одинаково годится инвестору, предпринимателю и любому, кто строит жизнь в мире, где главные события заранее не предсказать.

Пастер, которому принадлежат слова о подготовленном уме, знал, о чём говорил. В 1848 году молодой химик изучал кристаллы соли винной кислоты и заметил под лупой, что они бывают двух видов, зеркальных друг другу, как левая и правая перчатка. Он разобрал их пинцетом, и раствор каждой половины по-разному поворачивал поляризованный свет. Так было открыто, что молекулы могут различаться только «рукой». Позже выяснилось, что Пастеру повезло: эта соль распадается на два вида кристаллов только при температуре ниже примерно двадцати семи градусов, и в жаркий день он бы ничего не увидел. Но такую же соль держали в руках и другие химики, а разницу увидел тот, кто знал, на что смотреть.